中学3年生女子の生徒様とのやりとりです。
ヒントは問題文の中に
相似の証明問題に取り組んでいました。
相似の問題は奥が深いと言いますか、難易度の幅が広いです。
そして、徐々に上げていかないと、中々対応できるものではありません。
最初は仮定や、問題で与えられている条件から、すぐに証明できる問題がほとんどです。
①仮定、②平行線の錯角が等しいの①②からすぐに相似だと言えてしまうような問題ですね。
難易度が1つ上がると、理由の説明が難しいようなものが出てきます。
∠A=∠Bを言うために、∠A=∠C-∠D、∠B=∠E-∠D、で∠C=∠Eが仮定になっているようなパターンですね。
また、いくつかの段階を経てようやく説明できるケースもあります。
①の仮定からAB//CDが言えて、これにより錯角が等しいから∠A=∠Bみたいなパターンですね。
※AB//CDが仮定になっていないので、その平行であることを説明してから使う
更には、相似を示すために、まず別の合同を示す、というような問題もあります。
相似や合同は本来目的ではなく、対応する角が等しいなどを言うための道具でしかないという見方が必要になります。
組み合わせる
長くなりましたが、生徒様が難易度高めの問題に取り組んでいました。
まさに先のケースのように、複数手順を経て、相似の条件を満たす式を導くような問題です。
こういう問題は問題から直接答えに行けないので難しいです。
相似の条件を満たす式とは関係のない角や辺の長さの式をわざわざ導くというところにその難しさがあるでしょう。
生徒様：この問題、どうしたらいいでしょうか？
那須：実は既に必要なことは気付けてるよ。
問題に書かれている条件から色々等しい角などを図示していました。
その中で出てきた角度の関係を組み合わせると、答えを導けるところまでできています。
那須：ヒントは「問題文に掛かれていることは基本的には使う」という事だね。
那須：これとこれが平行って書かれているよね。
那須：示したい相似の三角形の角が、ちょうど平行線状にある角で、錯角でこっちに移るよね。
那須：後は示したい角とその錯角はどういう関係にある？
生徒様：あ、円周角で等しい。
那須：そう！つまり･･･？
生徒様：この角と、この角が等しい？
那須：正解！
数学の問題には無駄がない
これを自然にできるようになるためには、いくつかポイントがあるかと思います。
その一つは、「数学の問題には無駄がない」という事の理解です。
数学の問題にAB//CDと書いてあれば、その条件は基本的には解答のどこかで使います。
使わない性質は問題の中にわざわざ書かれないことがほとんどです。
すると、「問題の条件に書いてあるのだから、何かしら使うだろう」というのは正しい発送です。
- 並行と書かれていれば、錯角が等しい等の性質を恐らく使うだろう。
- 円周上に三角形があるのであれば、円周角の定理を使うだろう。
- 三角形の二辺が等しければ、二等辺三角形の底角が等しい事は使うだろう。
そんな発想ですね。
是非その観点を持って、問題に取り組んでみてください。
また、中々答えにたどり着けないときは、問題文を読み返してみましょう。
使っていない性質があれば、それはきっと大きなヒントになっているはずです。
