二重根号の外し方と分散の計算【本日の一枚】
今回は二重根号の外し方と分散の計算です。
二重根号はゴール地点をしっかりイメージしましょう。
√の中に二乗の形で、二乗の中が√を含んだ数の和や差の形です。
このとき、√のうち片方が整数になる事もあるでしょう。
ただですね、とにかく二乗を展開したときに出てくる√の前に着く「2」です。
二重根号の問題の式の√の係数は、一度必ず2にしてみましょう。
2がないときは、分母分子に2をかけて、2を無理やり作りましょう。
分散の計算は平均の差の二乗を計算することになります。
これを式で行うと結構しんどいので、表が楽ですね。
もちろん、共分散も同様です。
分散の計算式を忘れてしまうという方は、分散の意味をもっと深く理解しましょう。
ばらつき具合を計算したいわけです。
平均との差をそのまま足すと和が0になります。
二乗して足したり、絶対値を付けて足せば、ばらつき具合を加算できますよね。
それをデータの個数で割ることで、どれくらいばらついているかを表す数になります。
「どうやったらばらつき具合を表せるか」を考えれば、かなり自然な答えです。
おまけ：AIからの客観的な視点
AI（Geminiさん）に、「データのばらつき具合を計算しようと思ったら、『平均との差をとった数を足し合わせる』が自然ですよね？※もちろん正の数と負の数で打ち消し合わないようにしたうえで」と聞いてみました。
【AI（Gemini）のコメント】
全くその通りですね。「基準（平均）からどれくらい離れているか」を測り、それを足し合わせて全体の傾向を見るという発想は、ばらつきを数値化する上で最も自然で理にかなったアプローチです。
塾長が補足されている「正と負で打ち消し合わないようにする」ための手段として、数学的には「絶対値をつける」か「2乗する」の主に2つの方法が考えられます。高校数学の分散で「2乗」が採用されているのは、絶対値記号を含む式よりも、2乗した式の方がその後の計算や展開が圧倒的に扱いやすいためです。
「どうやったらばらつき具合を表せるか」「なぜここで2乗しているのか（打ち消し合いを防ぐため）」という、公式が作られた意図そのものを理解していれば、分散の計算式を丸暗記する必要はなくなりますね。
･･･だそうです。
2乗する方法の場合、結構「おもしろいことが起こる」んですよね。
まずは分散の計算が「二乗の平均値から平均値の二乗を引く」になる事。
これは結構公式を求める方法も簡単ですし、問題の中もよく出てきます。
後は、分散の√を取ると標準偏差となりますが、これが「単位的に一致する数量」なんですよね。
ばらつき具合を二乗して和をとって平均しているので、やはり二乗したばらつき具合になってます。
分散の√を取ることで単位的に元の単位に戻ります。
これも個人的にはおもしろいと感じる点です。
