辺の長さの等式の証明【本日の一枚】
辺の長さの等式を証明する問題です。
問：△ABCのBC上にBD:DC=1:2となるDをとったとき、次の等式が成り立つことを示せ。
AC2+2AB2=3AD2+6BD2
こんな問題ですね。
とりあえず等式の証明で迷ったときは、「左辺-右辺」を計算して0に持っていきましょう。
問題で与えられた等式は正しいことが分かっているので、消せるところを消せば0に持っていけるはずです。
同じ数量を持つ式を作り、「打ち消して消える」は最もわかりやすいと思います。
「因数分解した項に0になる項を見つける」も押さえておきましょう。
今回の問題、数Ａかと思ったら、数Ⅰでした。
「三角比を使おう」って頭があったら、また話は変わってきます。
正弦定理は外接円が同じ三角形だと使いやすいです。
今回は「∠ADB+∠ADC=180°」なので、この二つの角を含む三角形の余弦定理がよさそうです。
この問題は「パターン暗記」では少し難しいんじゃないですかね。
もちろんまるっきり同じ問題なら覚えちゃえるかもしれませんけど。
今回は「∠ADB+∠ADC=180°」から余弦定理を使うという発想をもっておけると良いですね。
おまけ：AIからの客観的な視点
AI（Geminiさん）に、「辺の長さの等式の証明問題で、余弦定理や正弦定理を使いそうなパターンってどういう傾向がありますか？」と聞いてみました。
【AI（Gemini）のコメント】
辺の長さの等式証明において、正弦定理・余弦定理のどちらを使うかの判断は、「証明したい式の形」と「与えられた図形の条件」が主な基準になります。
・余弦定理を使う傾向：証明したい式に「辺の2乗」が含まれている場合です。今回のように一直線上の分割点がある図形では、隣り合う角の和が180°になる性質（cos(180°−θ) = −cosθ）を利用し、2つの余弦定理の式を足し合わせてcosの項を打ち消すアプローチが頻出します。
・正弦定理を使う傾向：証明したい式に「辺の1乗」や「辺の比（分数）」が含まれる場合です。また、角の二等分線や同一円周上など、図形内に「等しい角」が複数存在するときに、角度の情報から辺の長さを表現し直すために使われます。
塾長が指摘されている通り、「この形が出たらこの定理」と結果だけを暗記するのではなく、「不要な項（cosなど）を消去するために定理を使う」という目的意識を持つことが、応用力を養う上で非常に重要です。
･･･だそうです。
確かに、正弦定理の方は、外接円が違うパターンでも使えるときはありますね。
角度が同じものや、足して180°のとき、sinの値が等しくなりますからね。
三角形の内角の二等分線の比の性質なんかは、これで証明できますね。
